D'après le document www.ac-creteil.fr/physique/DOCGRISP/modulation/modula.htm publié par l'Académie de Créteil

tpsp9 : Modulation et démodulation

1. Rappels théoriques

Quelle gamme de fréquences les stations de radio doivent-elles pouvoir transmettre (voix + musique) ? 
Que se passerait-il si elles émettaient toutes dans cette gamme ?

Chaque station se voit affectée une gamme de (haute) fréquence qui lui est propre, et qui constitue l'onde porteuse. Comment le signal sonore (de basse fréquence) est-il alors transmis ?

1. Une tension sinusoïdale peut s'écrire :
    u(t) = U_max cos ( ) = U _max cos (2 f t + )
   Que représentent , U _max , f  et ? 
   On étudie uniquement la modulation d'amplitude dans le cas où la phase à l'origine est nulle. On pose :
   u_p(t) = U_p cos ( _p t)           pour l'onde porteuse
   u_m(t) = U_m cos ( _m t)          pour le signal modulant, affecté d'une composante continue U₀ .
   On note v(t) l'onde modulée finale : v(t) = [ u_m(t) + U₀ ] . u_p(t)
   Montrer que :
   v(t) = A [ 1 + m . cos (_m t ) ] . cos (_p t)
   Que représentent A et m ?
   Développer l'expression précédente et montrer que l'on obtient :
   v(t) = A cos (2 f_p t) + A { cos [ 2 (f_p - f _m) t ] + cos [ 2 (f_p + f_m) t ] }
   Le signal modulé correspond donc à une superposition de 3 signaux de fréquences f_p , (f _p - f_m) et (f_p + f _m)  : représenter le spectre qui correspondrait à une onde porteuse sinusoïdale de 5000 Hz et à un signal modulant sinusoïdal de 500 Hz , avec U_p = 2 V ; U_m = 4 V ; U₀ = 6 V .

2. Modulation d'amplitude (simulation sur tableur)

A partir d'une feuille de calcul vide, on réservera les trois premières lignes pour l'introduction des paramètres. Les lignes 4 et 5 seront laissées vides pour "aérer" la présentation, et la ligne 6 contiendra les titres des colonnes.

La première colonne contiendra une suite de valeurs de 0 à 1000 représentant une échelle des temps à partir desquels seront calculées les valeurs de la porteuse et de la modulation. On calculera ainsi deux périodes entières de la modulation, ce qui correspond par conséquent à 500 points de calcul par période.
Cette colonne sera créée en introduisant les valeurs 0 et 1 dans les cellules A7 et A8 , puis en créant une suite incrémentée jusqu'à la cellule A1007.

La porteuse sera créée dans la colonne B. L'amplitude de cette porteuse sera choisie égale à une unité arbitraire, et sa fréquence sera définie relativement à celle de la modulation, par un facteur multiplicateur introduit dans la cellule D1 et initialement fixé à 20 par exemple. La formule à introduire dans la cellule B7 est donc :

=COS(2*PI()/500*$D$1*$A7)

dans laquelle $D$1 définit le multiplicateur de la fréquence (référence absolue) et $A7 la valeur du "temps" dans l'échelle de la colonne A (référence mixte pour faciliter la recopie).

La modulation sera créée dans la colonne C. Son amplitude sera introduite dans la cellule D2 et initialement fixée à 0,5 par exemple (sa fréquence étant choisie par définition égale à une unité arbitraire). La formule à introduire dans la cellule C7 est donc :

=$D$2*COS(2*PI()/500*$A7)

dans laquelle $D$2 définit l'amplitude (référence absolue) et $A7 la valeur du "temps".

Le calcul du signal modulé sera effectué dans la colonne D selon la relation :

signal modulé = porteuse*(décalage + modulation)

Il faut maintenant créer le graphique : il présentera, en fonction du "temps", la modulation et le signal modulé obtenu, et utilisera les titres définis dans la ligne 5 pour les séries de données. Il faut donc sélectionner la plage A6 : D1007 puis lancer l'assistant graphique et choisir une représentation en "nuage de points" (ne pas oublier de demander la création du graphique sur une nouvelle feuille pour en améliorer la lisibilité) .

Il est recommandé de faire varier les trois paramètres suivants :

rapport des fréquences porteuse / modulation (cellule D1)
amplitude relative de la modulation (cellule D2)
décalage (composante continue) de la modulation (cellule D3)

(on remarquera en particulier qu'il se produit une "surmodulation" lorsque le décalage est insuffisant).

La représentation de la porteuse ne présente guère d'intérêt et complique le graphique : on peut donc la supprimer avant d'imprimer les courbes (après avoir légendé et titré).

3. Démodulation d'amplitude (simulation sur tableur)

A partir d'une feuille de calcul vide, on réservera les quatre premières lignes pour l'introduction des paramètres. La ligne 5 sera laissée vide pour "aérer" la présentation et la ligne 6 contiendra les titres des colonnes.

Comme pour l'étude de la modulation, la première colonne contiendra une suite de valeurs de 0 à 1000 représentant une échelle des temps à partir desquels seront calculées les valeurs de la modulation et du signal modulé. On calculera ici, afin d'augmenter la lisibilité, une seule période de la modulation, ce qui correspond par conséquent à 1000 points de calcul par période. Cette colonne sera créée selon le processus déjà vu dans l'étude de la modulation.

La modulation sera créée dans la colonne B, conformément à ce qui a été décrit précédemment, mais avec une seule période pour 1000 points. Son amplitude, initialement fixée à 0,5 par exemple, sera introduite dans la cellule D2. La formule à introduire dans la cellule B7 est donc :

=$D$2*COS(2*PI()/1000*$A7).

Le calcul du signal modulé sera effectué dans la colonne C, la fréquence relative de la porteuse étant introduite en D1 et fixée à 100 par exemple, et le décalage étant introduit en D3 et fixé à 1. La formule à introduire dans la cellule C7 est donc :

= COS(2*PI()/1000*$D$1*$A7)*($D$3+$B7).

La colonne D contiendra le calcul du signal redressé : il suffit pour l'obtenir de tester les valeurs du signal modulé, et de mettre à zéro les valeurs négatives. La formule à introduire dans la cellule D7 est donc :

=SI(C7>0;C7;0).

La colonne E servira au calcul du signal filtré , avec une constante de temps définie dans la cellule D4 et fixée à 100 par exemple (soit une valeur 10 fois plus grande que la période de la porteuse, mais 10 fois plus petite que celle de la modulation). Pour cela, on recopiera le contenu de la cellule D7 en E7, et on introduira dans la cellule E8 la formule suivante :

=SI(E7*EXP(-1/$D$4)>D8;E7*EXP(-1/$D$4);D8).

Cette formule a pour but de voir si le signal est en cours d'augmentation (auquel cas on n'applique pas la loi de décroissance exponentielle) ou en diminution (auquel cas on applique une décroissance exponentielle correspondant à la "décharge du condensateur" pendant une unité de temps). La cellule E7 fait exception car la formule indiquée ne s'appliquerait pas correctement (référence à la cellule E6 contenant le titre).

Enfin, il restera à appliquer au résultat un décalage inverse (suppression de la composante continue) en introduisant dans la cellule F7 la formule :

=E7-$D$3.

On pourra alors créer et imprimer les graphiques permettant de suivre l'évolution du résultat ; pour conserver une bonne lisibilité, plusieurs graphiques peuvent sembler nécessaire, le dernier pouvant montrer la ressemblance entre la modulation appliquée initialement et le signal finalement obtenu.